Закон всемирного тяготения

В статье вы узнаете про закон всемирного тяготения Ньютона, а также что такое напряженность гравитационного поля, движение тела в гравитационном поле, как вычислять центр массы материальных тел и теоремы Паппуса.

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждое тело во вселенной притягивает другое тело с силой, прямо пропорциональной произведению масс обоих тел (M и m) и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между центрами масс обоих тел. Эта сила всегда действует по прямой линии, соединяющей оба центра масс.

формула всемирного тяготения
G- это универсальная гравитационная постоянная величины

G- это универсальная гравитационная постоянная величины

Сила гравитации действует между небесными телами огромной массы, а также между телами с незначительными массами в космическом масштабе, хотя в последнем случае она незаметно мала.

Напряженность гравитационного поля

Напряженность гравитационного поля представляет собой отношение силы F, действующей на тело, к массе m тела, помещенного в поле. Значение и направление напряженности гравитационного поля определяется вектором g :

Формула напряженности гравитационного поля
Формула напряженности гравитационного поля

Напряженность гравитационного поля g является основным параметром, характеризующим это поле. На каждое тело действует сила тяготения, которое равняется массе тела умноженное на напряженность гравитационного поля:

Когда мы определяем вес тела около Земли, М — это масса Земли, а r — это расстояние от центра массы тела до центра Земли.

Движение тела в гравитационном поле, наклонная проекция

Первую космическую скорость называют минимальной скоростью, которой должно обладать тело с массой m, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли после стабильной орбиты с радиусом г. На этой орбите будет баланс центростремительной силы тяжести и центробежной силы инерции.

Таким образом, для орбиты, расположенной в точке h над Землей с радиусом R, первая космическая скорость равна

Формула первой космической скорости

Вторая космическая скорость (скорость выхода) — это минимальная скорость, которая позволяет телу с массой m достигать бесконечного расстояния от Земли. Кинетическая энергия, которая должна быть отдана телу для этой цели, должна быть равна потенциальной энергии тела на поверхности Земли.

Следовательно, вторая космическая скорость


Вторая космическая скорость

По аналогии мы определяем обе космические скорости для любого другого небесного тела.

Пример:

Предоставление тела с массой m начальной скорости v направленной под углом φ, означает, что это тело будет одновременно иметь горизонтальную начальную скорость v*cos φ и вертикальную начальную скорость v*sin φ, как показано на рисунке выше. Анализируя движения тела в наклонной проекции, мы предполагаем следующие предположения: 1. гравитационное ускорение g (значение вектора гравитационного поля g) является постоянным по всей траектории движения тела, и поэтому скорость в вертикальном направлении vy подвержена постоянным изменениям и по истечении времени t равна:

Мы опускаем сопротивление воздуха, и поэтому скорость тела в горизонтальном направлении vx постоянна, и тело летит в этом направлении, пока оно находится в воздухе.

В точке, где тело достигает максимальной высоты, его скорость равна нулю 

Исходя из этого, мы получаем время полета тела t от места его выброса для достижения наибольшей высоты


Время полета тела

Время падения тела с максимальной высоты до начальной точки совпадает со временем его подъема. Это означает, что время пребывания тела в воздухе и, следовательно, время его полета в горизонтальном направлении

Простым умножением постоянной горизонтальной скорости на время, в течение которого тело находится в воздухе, мы получаем диапазон проекции под углом x max :

Потому что этот максимальный диапазон

Интересный результат мы получаем после применения свойств функции синуса:

 После учета этого свойства симметрии, мы находим, что максимальный диапазон также выражается формулой 

то есть

Диапазоны x max при съемке на ровной дорожке и крутой дорожке одинаковы, но поскольку в обоих случаях вертикальные составляющие скорости различны, v o sin φ и v 0 sin (90º — φ), то максимальные высоты y max будут в обоих случаях разные. Максимальная высота для пути y max1 получается простым интегрированием

Подставляя время вознесения тела

мы получаем

Аналогично для крутого пути мы получаем

Соотношение обеих максимальных высот будет

Для φ = 45º обе высоты, конечно, одинаковы. Наконец, мы находим уравнение следа тела в угловом виде. Сначала мы определим координаты x и y тела, как функцию времени, потому что

после простой интеграции мы находим это

Стандартная процедура нахождения пути тела состоит в том, чтобы исключить время из этих уравнений. У нас есть первое уравнение

Подставив это выражение во второе из уравнений и после простого преобразования, мы обнаружим, что путь тела описывается уравнением

Это уравнение перевернутой параболы, как показано на правом рисунке. Фактический курс снаряда так называемый баллистическая кривая, форма, которой зависит от величины сопротивления воздуха, то есть от давления, влажности и ветра, а также от формы самого снаряда. Диапазон баллистической кривой намного меньше, чем диапазон, определяемый идеальной параболической дорожкой.


Центр массы материальных тел

В поисках центра масс C массы M погружаем тело в систему отсчета x, y, z и вырезаем элемент объема dV = dx dy dz, который соответствует элементу массы dm = ρdV, где ρ — плотность массы


Центр массы материальных тел

С элементами массы dm мы поступаем точно так же, как и раньше, с массами m i. Однако, поскольку массы dm бесконечно малы, сумма в формулах для координат центра масс должна быть заменена интегрированием. Интеграция осуществляется по всему объему твердого тела. В результате мы получаем полностью аналогичные выражения:

ПРИМЕРЫ СЛЕДУЮЩИХ МАТЕРИАЛОВ

Пример 1: Найти центр масс однородного стержня с массой M и длиной L.

Пример 2: Найти центр масс однородной плиты, которая имеет форму равнобедренного треугольника. Пластина имеет массу M, длину основания A и высоту H.

Пример 3: Найти центр масс однородного вращающегося конуса с радиусом основания R и высотой H.

Иногда проблема нахождения центра масс сложной массы может быть сведена к проблеме центра масс системы материальных точек, например, для ломаной кривой, образованной из стержня:

Использование теорем Паппуса для расчета центра масс материальных тел

Две теоремы Паппуса полезны для нахождения центра массы материальной массы.

1. Теорема площади поверхности: если плоская кривая с длиной L повернута на определенный угол вокруг любой оси, лежащей в той же плоскости, и не пересекает эту кривую, то площадь результирующей поверхности поворотной поверхности равна произведению длины L на длину пути S, на который прошел центр масса С этой кривой.

2. Теорема об объеме: если замкнутая плоская фигура с полем A поворачивается на определенный угол вокруг любой оси, лежащей в той же плоскости, и не пересекает эту фигуру, то объем созданного таким образом вращательного тела равен произведению поля A и длины пути S, прошедшего центр масс С этой цифры.

Второе утверждение, конечно, верно, когда мы перемещаем рассматриваемую фигуру по прямой линии, перпендикулярной к ней, но когда мы перемещаем ее по кругу или другой кривой, могут быть созданы довольно специфические тела. Однако для изогнутой дорожки внешняя часть смещается больше, а внутренняя часть меньше, и оба эффекта сбалансированы. Поэтому, если мы хотим найти положение центра масс плоской плоскости с постоянной плотностью, достаточно вспомнить, что объем, возникающий при его вращении вокруг оси, равен расстоянию, на которое центр масс умножается на поверхность панели.

Поскольку наша задача состоит в том, чтобы найти центры масс, в теоремах Паппуса мы выбираем оси вращения и углы, на которые мы поворачиваем дуги или лепестки поверхности, чтобы легко было найти подходящие площади поверхности и объем твердых тел, возникающих в результате вращений.

Например, если мы хотим найти положение центра масс прямоугольного треугольника с основанием D и высотой H, мы можем решить эту проблему следующим образом. Мы представляем себе ось, проходящую через H и вращать треугольник вокруг оси на 360. Расстояние которой центр массы xc — координаты, это
2πxc. Скользящая фигура была треугольником; его поле равно 1/2 HD. Расстояние, пройденное центром масс, умноженное на поле треугольника, равно объему полученной фигуры, который, конечно, равен πD2H/3. Таким образом, (2πxc)(1/2 HD)= 1/3πD2H, то есть xc = D/3. Аналогичным образом, вращая вокруг другой оси или ссылаясь на симметрию, мы находим, что y c = H / 3. Действительно, центр масс каждой однородной поверхности треугольника находится в точке пересечения трех центральных линий, проведенных от вершин к центрам противоположных сторон (эта точка расположена на третьей части пути вдоль каждой медианы). Чтобы выяснить это, давайте разделим треугольник на множество небольших слоев, параллельных основанию. Следует отметить, что средняя часть делит каждый из этих слоев пополам, поэтому центр масс должен лежать на нем.

Более сложным случаем является нахождение местоположения центра масс однородного полукруга. Для полного круга центр масс, очевидно, находится в середине круга, но для полукруга проблема более сложная. Пусть r — радиус полукруга, ax c — расстояние центра масс от прямой кромки. Если мы повернем полукруг вокруг этого края так, чтобы образовалась сфера, центр масс пройдет расстояние 2πx c ; площадь поверхности πr 2 /2 (так как это только половина круга). В результате чего объем равен ходу 4π R 3 /3; мы находим из этого

Гравитационное взаимодействие

Основные воздействия на природу. Все известные взаимодействия, которые тела оказывают друг на друга, делятся на четыре типа:

  • гравитационные взаимодействия
  • слабые взаимодействия
  • электромагнитные взаимодействия
  • сильные взаимодействия

Каждое из этих взаимодействий сильно отличается от других силой, которую оно создает между двумя телами. Таблица показывает относительную силу каждого из ударной силы F относительно электромагнитной силы F E.

Тип воздействияF / F E
гравитационные10 -40
слабые10 -10
электромагнитные1
сильные10 2

Представленный список содержит все известные в природе силы, и каждое взаимодействие между телами осуществляется одной из этих четырех сил или комбинацией нескольких из них (например, при одновременном действии силы тяжести и электромагнитных сил).

Самым слабым из этих взаимодействий является гравитационное взаимодействие, примерно слабее электромагнитного в 10 40 раз. Сила гравитации, созданная в этом взаимодействии, всегда привлекательна и действует между телами, обладающими массой. Значение силы тяжести описывает уже известный закон тяготения Ньютона (эта сила прямо пропорциональна произведению обеих действующих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами масс).

Слабая сила, меньше, чем приблизительно 10 10 раз происходит между лептонов (например Электроны, мюоны (μ частицы) и taonami частицы), а также несет ответственность за деградацию бета частиц и ядер.

Электромагнитное взаимодействие создает силы, ответственные за структуру атома, за химические реакции и за все электромагнитные явления в окружающем нас мире. Эти силы действуют только между заряженными частицами и могут быть как притягивающими, так и отталкивающими, что отличает их от постоянно притягивающей силы притяжения. Значение силы, генерируемой при электромагнитном взаимодействии между двумя точечными нагрузками покоя, описывает так называемые Кулоновская сила (эта сила прямо пропорциональна произведению обоих заряженных частиц и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними).

Сильное взаимодействие, примерно в 1020 раз более сильнее, чем электромагнитное, действует только между тяжелыми частицами, называемыми адронами, которые делятся на барионы (например, протон, нейтрон) и мезоны (например, мезон π). Как мы увидим далее при обсуждении Стандартной модели, адроны имеют внутреннюю структуру и состоят из кварков, которые мы считаем фактически элементарными частицами. Каждый барион состоит из трех кварков и мезона из одного кварка и одного антикварка. Сильное взаимодействие между нуклонами (протон, нейтрон) вызывает их взаимную связь, приводящую к созданию атомного ядра. Сильные взаимодействия в атомных ядрах имеют очень короткий диапазон 10 -15.

Гравитация в космологии, существенное значение гравитации в эволюции звезд и поведение больших звезд.

Хотя в атомном масштабе сила гравитации ничтожно мала, когда она действует в космическом масштабе внутри массивных тел (галактик, звезд, планет), она определяет взаимные движения этих тел и в то же время является очень важным фактором в их эволюции. В определенных процессах эволюции, происходящих в очень массивных звездах, гравитационные взаимодействия порождают взрывы, мощность которых во много раз превышает мощность, генерируемую в термоядерных реакциях этих звезд.

Эволюция звезды называется последовательностью процессов, которые протекают в звезде от ее рождения до окончательного гашения. Мы предполагаем, что звезда возникает в результате конденсации межзвездного вещества, которое происходит либо случайно, либо по необъяснимым причинам. Звезда затем растет в результате гравитационного притяжения масс новой материи. В этом изначальном холодном облаке гравитационно-сжатого вещества, называемого протозвездой, растет внутреннее давление. Это повышение давления постоянно повышает температуру до уровня 5-10 × 10 6. При этой температуре термоядерный синтез водорода начинает образовывать гелий. Период создания протозвезды, вероятно, составляет около 50 миллионов лет. Когда начинается термоядерная реакция, гравитационное сжатие уравновешивается увеличением внутреннего давления, вызванным этой реакцией.

В типичной звезде, которой является наше Солнце, скорость сгорания водорода оценивается примерно в 10 11 кг с -1, с выделением энергии около 6 × 10 25 Дж с -1. Считается, что солнце содержать достаточное количество водорода, чтобы записать его со скоростью 10 10 лет и что Солнце находится в середине его жизни как звезда. В конце концов, однако, период стабильности звезды подходит к концу, потому что энергии, генерируемой внутри термоядерных реакций внутри, уже недостаточно для уравновешивания гравитационного сжатия. Ядро звезд, в настоящее время содержащее в основном гелий, гравитационно разрушается до тех пор, пока температура не поднимется настолько высоко, что в окружающем ядре начинается новая фаза термоядерных реакций, состоящая из несгоревшего водорода. Энергия, полученная в этих реакциях, заставляет внешнюю оболочку звезды быстро расширяться и охлаждаться. При такой пониженной температуре, цвет раздутого в настоящее время покрытия меняется с белого на красный. Звезда в этом состоянии — красный гигант. В то же время ядро ​​звезды гравитационно сжимается, достигая температуры 10 8 К, и при этой температуре гелий, образующий ядро, становится центром, в котором взрывается новый тип термоядерных реакций. Продуктом этих реакций является углерод. Звезды относительно небольшой массы быстро сжигают гелий, содержащийся в ядре, и затем ядро ​​снова разрушается гравитационно, создавая объект, который мы называем белым карликом. Внешняя оболочка, которая ранее принадлежала красному гиганту, в это время уходит в космос.

Более крупные звезды, во много раз больше Солнца, имеют достаточно гелия в ядре, чтобы позволить процессу горения продолжаться, и тогда образуются более тяжелые элементы, вплоть до железа. Поэтому железо является самым тяжелым элементом, который может быть получен в процессе горения гелия в ядре звезды. Когда в такой большой звезде гелий окончательно сгорает, происходит настоящая катастрофа в космическом масштабе. Вся масса звезды коллапсирует гравитационно, и энергия, произведенная в этом процессе, вызывает гигантский взрыв всей звезды. Это явление называется взрывом сверхновой. Мощность энергии излучения, выделяющейся при взрыве сверхновой, заставляет звезду излучать 10 10 раз сильнее, чем средняя звезда. Это означает, что сверхновая доминирует над яркостью всей галактики, в которой она находится. При взрыве сверхновой самые тяжелые элементы, встречающиеся в природе, уже сформированы. Однако продолжительность жизни сверхновой коротка, и ее излучение исчезает через несколько лет. Остатки взрыва сверхновой завершают процесс эволюции, создавая так называемые нейтронные звезды или черные дыры.

Нейтронная звезда — это звезда, которая достигла конца своего эволюционного пути и в которой больше нет ядерного топлива. Теперь ничто не противодействует максимальному гравитационному коллапсу, и в результате звезда становится настолько сжатой, что электроны внутри нее вынуждены проникать в атомное ядро, где они соединяются с протонами и превращают их в нейтроны. Согласно принятой модели, нейтронная звезда имеет газовую оболочку толщиной в несколько метров, ниже которой находится сплошная кора толщиной около 1 км. Под корой простирается сверхтекучий слой, состоящий почти целиком из нейтронов. Сам центр такой звезды — чрезвычайно твердое ядро. Нейтронная звезда имеет диаметр, вероятно, не более 10 км, но ее масса в 1,5 раза больше массы Солнца, то есть 3 × 10 30кг. Это означает, что средняя плотность нейтронной звезды составляет около 10. 15 раз больше, чем плотность воды; это плотность, которую нельзя найти нигде во Вселенной. Считается, что пульсары — необычно правильные космические часы — это быстро вращающиеся нейтронные звезды, которые имеют очень сильные магнитные поля.

Черная дыра — это объект в космосе, созданный также гравитационным коллапсом, но в этом случае объект настолько массивен, что для него скорость выхода (вторая космическая скорость) равна скорости света. Предполагается, что появление черной дыры происходит в результате взрыва сверхновой, в которой ядро ​​материи, остающееся после взрыва, очень велико (много масс Солнца). Материал сердечника подвергается огромному гравитационному сжатию, что приводит к дальнейшему увеличению напряженности гравитационного поля. В какой-то момент это поле достигает критического значения, то есть оно становится настолько большим, что электромагнитное излучение попадает в него и больше не может распространяться в пространстве. Тогда созданный таким образом объект больше не светит, поэтому он становится черной дырой. поверхность, на котором гравитационное поле достигает этого критического значения, называется горизонтом событий. Мы не можем и никогда не сможем зарегистрировать или обнаружить что-либо, что происходит ниже горизонта событий. Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр. Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры. Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи. Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр. Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры. Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи. Мы заключаем о существовании черных дыр, основываясь на наблюдении за поведением небесных тел вблизи этих дыр. Если, например, черная дыра создает двойную систему с обычной звездой, то черная дыра высасывает вещество из этой звезды. Всасываемая материя сначала создает вращающийся диск вокруг черной дыры. Вещество в диске становится сжатым и нагретым до такой степени, что оно испускает рентгеновские лучи.

10 11, или сто миллиардов

Гравитационное поле влияет на поведение огромных звездных сообществ, таких как галактики. Каждая галактика — эллиптическая, спиральная или неправильная — содержит около 10 11 звезд, и все они скреплены гравитацией. Галактика, в которой находится наша Солнечная система, называется Млечный путь и представляет собой спиральную галактику, а Солнце находится на периферии этой спирали. Предполагается, что самые большие телескопы в диапазоне других галактик, число которых во Вселенной также оценивается в 10 11. Гравитационное поле также оказывает существенное влияние на ход таких гигантских событий, как галактические столкновения.

Кстати — количество нейронов (нервных клеток) в нашем мозгу совершенно случайно тоже 10 11. Каждый из этих нейронов связывается с рецепторными клетками, мышечными клетками, железистыми клетками или другими нейронами с сетью синаптических связей, число которых может достигать нескольких сотен на каждый нейрон. Фантастическая машина!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

meanders.ru.com © 2020

Adblock
detector